الزمن والتردد معاًمقايضة هايزنبرغ

الطيف والنافذة

DFT يقول "هذا التردد موجود في الإشارة كلّها" — لكن الموسيقى تتغيّر لحظةً بلحظة. نحتاج أن نرى متى ظهر كل تردد. الحلّ هو STFT والـspectrogram، ومعه نكتشف مقايضةً عميقة لا مفرّ منها بين دقّة الزمن ودقّة التردد.

تريد تحليل مقطوعة مدّتها ١٠ ثوانٍ. لو طبّقت DFT على الـ١٠ ثوانٍ كاملة، تحصل على "متوسّط الترددات عبر المقطوعة كلّها" — عديم الفائدة (لا تعرف متى عُزفت كل نغمة).

فكرتك: قطّع الإشارة لنوافذ قصيرة وطبّق DFT على كلٍّ. لكن ما طول النافذة؟ نافذة قصيرة جداً (10 عيّنات) تحدّد الزمن بدقّة لكنها قصيرة جداً لتمييز ترددين متقاربين. نافذة طويلة (10000 عيّنة) تميّز الترددات بدقّة لكنها تطمس "متى". هل يمكن أن تحصل على دقّة عالية في الزمن والتردد معاً؟ جرّب أن تتخيّل لماذا لا.

STFT: فورييه على نوافذ منزلقة

الحلّ العملي: Short-Time Fourier Transform — قسّم الإشارة إلى أطر متداخلة قصيرة، طبّق FFT على كل إطار، ورُصّ النتائج جنباً إلى جنب. تحصل على مصفوفة ثنائية: المحور الأفقي زمن (رقم الإطار)، الرأسي تردد، واللون = المقدار. هذه هي الـspectrogram — صورة الصوت.

FIG 1 spectrogram لإشارة chirp (تردد يصعد) — محسوب بـSTFT فعلياً

الخطّ القُطري الساطع = تردد يرتفع مع الزمن. ترى متى كان كل تردد موجوداً. هذا التمثيل (صورة من الصوت) هو ما تأكله الشبكات العصبية في العقدة ٠٨.

المقايضة التي لا مفرّ منها — حلّ اللغز

الجواب: لا. هذا قانون رياضي، لا قصور تقني. النافذة الزمنية القصيرة Δt تعطي دقّة ترددية رديئة Δf، والعكس. حاصل ضربهما محدود من الأسفل:

Gabor limit
Δt · Δf  ≥  ثابت     # نفس بنية مبدأ هايزنبرغ — خاصّية لفورييه ذاته

سبب جذري: تمييز ترددين متقاربين يتطلّب ملاحظة عدّة دورات منهما؛ وملاحظة عدّة دورات تتطلّب زمناً. لا يمكن "معرفة التردد الآن حالاً" لأن التردد مفهوم يحتاج امتداداً زمنياً ليُعرّف أصلاً.

FIG 2 نافذة قصيرة (زمن حادّ، تردد ضبابي) مقابل طويلة (العكس)

تختار موضعك على القطر حسب الإشارة: الكلام السريع يفضّل نوافذ قصيرة، النغمات المستقرّة نوافذ طويلة. الكوديكات الحديثة تبدّل الحجم ديناميكياً.

ليش "النافذة" نفسها (windowing) ضرورية

قصّ إطار فجأةً يخلق قفزات حادّة عند طرفيه → ترددات وهمية في الطيف (spectral leakage). لذا نضرب كل إطار في "نافذة" ناعمة (Hann/Hamming) تخفّ تدريجياً عند الأطراف. هذا نفس منطق "الامتداد المرآتي" في DCT (مسار الصور): تجنّب القفزات الحادّة التي تلوّث الطيف.

ولّد إشارة chirp: x[n]=sin(2π·(f0 + r·n)·n/fₛ). قطّعها لأطر بطول 256 وقفزة (hop) 128.
اضرب كل إطار في نافذة Hann 0.5−0.5cos(2πi/M)، طبّق DFT، خزّن |X[k]|. ارسم المصفوفة كصورة (l' أو PPM من مسار الصور!).
اختبر المقايضة: أعِد بطول إطار 32 ثم 2048. لاحظ: القصير يعطي قطراً حادّاً زمنياً وضبابياً ترددياً، والطويل العكس. هذا قانون غابور بعينيك.
طبّق على إطار بلا نافذة وقارن الـleakage.

الخلاصة

STFT يعطينا صورة زمن-تردد (spectrogram)، لكن بمقايضة Δt·Δf ثابتة (غابور) — قانون لا قصور. النافذة الناعمة تمنع تسرّب الطيف. الآن نملك تمثيلين للصوت (زمن، زمن-تردد). حان وقت التلاعب به: كيف نبني نظاماً يأخذ صوتاً ويُخرج صوتاً معدّلاً — يقوّي الجهير، يزيل طنيناً؟ هذا عالم الأنظمة والفلاتر.